Найдено решение одной из старейших задач теории чисел

 


В середине мая 2013 года математик из Перу, в настоящее время работающий во Франции, Харальд Хельфготт выложил в архив препринтов Корнельского университета статью «Большие дуги для теоремы Гольдбаха». Эта статья объемом 133 страницы содержит финальную часть доказательства (начатого на заре XX века великим советским математиком Иваном Виноградовым) так называемой тернарной проблемы Гольдбаха — одной из старейших задач в теории чисел.

Май 2013 года стал совершенно удивительным месяцем для теории чисел (точнее, аналитической теории чисел, но это уже детали для специалистов): буквально за одну неделю стало известно о прогрессе в двух сложнейших проблемах, относящихся к так называемым аддитивным задачам. Если грубо, то это целый класс задач, которые имеют дело с представлением одних чисел в виде суммы других, причем эти другие берутся из какого-нибудь специального класса. Соответственно, большинство задач сводится к тому, существуют ли указанные представления и если да, то сколько их. Ответ на последний вопрос, конечно, дается не точный, а в виде какой-нибудь примерной оценки. К задачам этого класса относятся, например, задача Лежандра о представлении целого числа в виде суммы четырех квадратов натуральных чисел, задача о представлении натурального числа в виде суммы пяти квадратов простых чисел.

Записки на полях

В 1725 году немецкий математик и юрист Кристиан Гольдбах переехал в Россию, чтобы стать постоянным членом только что открывшейся Петербургской академии наук. Дела у математика достаточно быстро пошли в гору, и его приблизили ко двору — спустя всего несколько лет он был личным репетитором юного Петра II. В 1742 году уже немолодой Гольдбах (ему было 52 года) решает закончить карьеру ученого и принимает позицию чиновника в Коллегии иностранных дел. 7 июня этого же, судьбоносного для Гольдбаха года математик пишет письмо Леонарду Эйлеру, на тот момент проживавшему в Пруссии. С Эйлером Гольдбах познакомился еще до приезда в Россию во время своего образовательного турне по Европе после окончания университета и с тех пор поддерживал дружеские отношения.

В конце письма, уже на полях, Гольдбах пишет следующую гипотезу: «Всякое целое число больше двух можно представить как сумму трех простых» (немецкий математик, в отличие от представлений современной теории чисел, считал единицу также простым числом). В ответном письме Эйлер напоминает Гольдбаху, что ранее в личной беседе тот высказывал похожую гипотезу: мол, любое четное целое число можно представить в виде суммы двух простых. При этом Эйлер был уверен, что «это несомненно верная теорема», но говорил, что он ее «доказать не в состоянии». Так на свет появилась гипотеза Гольдбаха, точнее даже две гипотезы сразу.

Первая получила название тернарной (или слабой) гипотезы Гольдбаха. Она утверждает, что всякое нечетное целое число больше пяти представляется в виде суммы трех (не обязательно попарно различных) простых чисел. В свою очередь бинарная (или сильная) гипотеза Гольдбаха утверждает, что всякое целое четное число больше двух представляется в виде суммы двух (не обязательно различных) простых чисел. Эту гипотезу называют сильной потому, что слабая из нее вытекает: добавляя ко всем четным числам тройку, мы можем получить все возможные нечетные числа больше пяти.

К началу XX века гипотезы Гольдбаха, наряду с гипотезой Римана, стали одними из центральных задач теории чисел, войдя даже в состав знаменитой 8-й проблемы Гильберта.

Полный текст статьи опубликован на сайте Lenta.ru